Introduccion

Saludos cordiales amigos visitantes, este su servidor les da una bienvenida de puertas abiertas a este blog.

La geometría en su característica pulcritud y precisión lleva ese algo profesional que no se ustedes, hace sentir en cada trazo preciso como todo un profesional del dibujo técnico y ademas que con suficiente practica te resultara de lo mas sencillo, para mi que no hay rama del álgebra que sea tan divertida y esbelta.

Este blog esta dedicado a la transformación del plano, tiene indicaciones para realizar el trabajo a mano y ademas se incluye pequeños tutoriales sobre realizar los trabajos en Geogebra.

Geogebra es un programa de software libre que reúne geometría, álgebra, hoja de cálculo, gráficos, estadística y cálculo y es facilisimo de usar.

Se añaden ademas links que te redirigirán a videotutoriales ya que creo que a veces una explicación audiovisual resulta mejor que leer paso tras paso

Me empeñe en que este blog fuese de palabras claras y sencillas, sin dejar de lado los tecnicismos básicos, espero sea tu agrado y que te sea útil la información que aquí comparto, siéntete libre de dejarme tu comentario en cada entrada, si me equivoque corrígeme, déjame siempre tu argumento bien explicado, si vas a comentar recuerda que no solo yo quiero aprender sino muchísimos personas que de casualidad pasaran por aquí, que sea esto mi invitación a que por favor compartan lo que saben.

Unidades

Lo que abordaremos sera:

• Definiciones básicas de Álgebra y transformación del plano
• Deslizamiento
• Simetria central
• Simetria axial
• Rotacion
• Homotecia
• La grafica tridimensional

Definiciones básicas

Antes de proseguir te advierto que vamos a usar terminologías propias de Álgebra y transformación del plano, y para que hablemos en el mismo idioma vamos a aprender conceptos.

Función.

En geometría es una regla  que le asigna a un elemento x (de un conjunto de partida) un elemento y (en un conjunto de salida), ademas los elementos y los conjuntos deben tener cardinalidad, esto quiere decir que si tienes una figura que tiene tres elementos (este seria tu conjunto de entrada), la figura transformada (que seria tu conjunto de salida) tiene que tener también tres elementos.

Función suprayectiva.

Es suprayectiva cuando en el conjunto de partida existe un elemento X y a este le corresponde un elemento Y en el conjunto de salida.

Conjunto de entrada-------Conjunto de salida

X1------corresponde con-----Y1

X2------corresponde con-----Y2

X3------corresponde con------Y3

Función inyectiva

Es inyectiva cuando los elementos del conjunto de partida no son necesariamente iguales en cardinalidad con los elementos del conjunto de salida, son diferentes pero los de un conjunto corresponden con el otro.

Función Biyectiva

Es cuando cumple con las propiedades suprayectivas e inyectivas a la vez.

En la imagen se pueden ver tres conjuntos que a su ves están conformados por elementos (los nombres), cada elemento de cada conjunto tiene un elemento que le corresponde en otro conjunto, y en este caso ningún elemento tiene total similitud unos con otros



Grupo.

Se le llama grupo a un conjunto de elementos, en la imagen pasada podemos llamar grupo 1 a aquel conformado por los nombres Ana, Mary, Sophia, y así con el resto.

Transformación del plano.

Es cuando una figura sufre de un cambio de posición en el plano, al realizar la transformación  la figura transformada puede cambiar de forma y tamaño con respecto a la imagen original, pero la imagen original y la transformada guardan semejanza, osea es Biyectiva.

Movimiento del plano.

Es aquel que no cambia la distancia y a la vez se compone de otro movimiento.

Propiedades de movimiento.

1. M transforma una recta en otra recta.
2. M transforma un semiplano con frontera a en otro semiplano con frontera a'.
3. M guarda la relación "estar entre".
4. M transforma un segmento AB en otro A'B'.
5. M transforma un rayo en otro rayo.
6. M transforma rectas perpendiculares en rectas perpendiculares.

Congruencia.

La congruencia quiere decir que dos elementos tienen relación lógica o similitud uno con el otro, en este blog el concepto de congruencia aplica cuando transformamos una figura en el plano y tanto la original y la transformada son congruentes en forma, tamaño etc.

Rosa de los vientos.

Es un circulo que tiene marcados los puntos cardinales norte, sur, este, oeste, Noroeste, Suroeste, Noreste y Sureste, los puntos cardinales son los rumbos entre los cuales se divide el horizonte.

Su creación se le atribuye a Ramón Lull (el caballero andante del pensamiento, cuyo inmenso corazón era alado, con las alas acérrimas e incansables de un serafín), aunque se basó en las referencias de Gayo Plinio Segundo.

Deslizamiento

Es mover una figura en un plano, sin afectar su tamaño ni forma, el deslizamiento se da según un vector, el vector define la dirección y cuanto se va a mover .

Para efectuarlo, deberás establecer primero el vector.

En este ejemplo deslizaremos el polígono “2 unidades” al “sur” según la rosa de los vientos.

Ahora trazaremos una línea que parta del vértice A hacia el sur, línea que tendrá una longitud de 2 unidades.

En el extremo de la línea deberás marcar el homólogo del vértice A, A’

Has lo mismo con todos los vértices que conformen tu figura y ubica el homólogo de cada vértice.

Teniendo todos los puntos, A’, B’, C’, debes unir cada punto para formar la figura final.

Y eso es todo para formar el deslizamiento en un plano de manera manual.

Quieres hacerlo en Geogebra?

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En Geogebra existen dos maneras de realizar Deslizamiento a una figura.

Primer método.

Dibuja tu polígono con la herramienta “Polígono”,  dibuja el polígono que tú quieras.

Luego debes dibujar el vector, el vector lo vas a dibujar eligiendo la herramienta “Recta” , dale click en la flechita que apunta hacia abajo y elige la herramienta “vector”.

Luego busca la herramienta “Simetría axial”  y dale Click sobre la flechita que apunta hacia abajo, en la imagen está indicado, en el menú que se desplegó elige la herramienta “traslación”.

Ahora bien, debes seleccionar la figura que vamos a desplazar y luego el vector

.

Luego automáticamente la imagen se trasladara.

Segundo método.

Luego de haber dibujado el polígono, lo nombraremos.

Para hacerlo debes ubicar el mouse encima del polígono y en el centro, cuando el polígono se vea sombreado dale Click derecho y selecciona la opción renombrar, en mi caso lo nombrare “circular”

Pasaremos a usar la línea de código, esta se ubica en la parte inferior del programa.

En esta línea podemos ejecutar diversas acciones, la que nos interesa ahora es la línea:

Traslada[ <Objeto>, <Vector> ]

Para seleccionarla debes escribir “traslada…” veras que aparece la opción de auto-completado, dale Click encima de la que dice “Traslada[ <Objeto>, <Vector> ]”

Donde dice “<Objeto>” debes escribir el nombre que le diste a tu polígono.

Donde dice  “<Vector>” deberás digitar la cantidad de unidades que se debe desplazar el polígono, tanto en el eje x como en el eje y, las unidades de desplazamiento debes digitarlas entre paréntesis, Geogebra trabaja en un plano cartesiano así que debes hacerlo así.

En mi caso especifique un movimiento de 2 unidades en el eje x y 3 unidades en el eje y

Luego solo debes darle enter y listo.

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Simetria central

Es como darle un giro de 180^o a una imagen teniendo como eje central el punto“O”, en donde todos los vértices quedan equidistantes entre sus homólogos, A equidistante  con A’, B con B’, C con C’ etc.

Para hacerlo debemos fijar a un lado de nuestra figura el punto central O.

Luego trazar una recta que inicie en A, pase por O y siga prolongándose mas allá.

Medimos la distancia A-O, y luego esa distancia la medimos iniciando en O y dirigiéndonos en sentido contrario a A, justo en el extremo señalar el punto A’.

Repetir estos pasos son los otros vértices para encontrar  B’, C’, lógicamente vas a tardar en localizar todos los homólogos según cuantos vértices tenga tu figura.

Luego de localizar los homólogos, tienes que unir los puntos para formar la figura reflejada.

Y listo!!
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Primero, dibujar el polígono, con la herramienta “Polígono”.

Tras esto crea el punto central O, selecciona la herramienta “Punto” y luego dale click donde quieras que se ubique.

Luego en la herramienta “Simetria axial”  dale click sobre la flechita que apunta hacia abajo para que se desplieguen mas opciones, debes seleccionar la herramienta “Simetria central”.

Ahora tienes que seleccionar la figura a reflejar y luego seleccionar el punto central o punto de simetría.

Y listo, automáticamente aparecerá la imagen reflejada con simetría central.

Eso seria todo por esta vez, gracias por leer!
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Simetría axial

En palabras simples es reflejar una figura como si se estuviese viendo frente a un espejo. En donde las figuras son iguales en tamaño y forma y equidistantes al eje central

Hagamos simetría axial de una figura!!

Lo primero será, teniendo tu figura ya definida, trazar el eje central “L”

1)  Traza una línea que parta del vértice A y pase perpendicularmente por el eje L y se prolongue más allá.

2)  Ahora mide la longitud que existe entre el eje L y el punto A.

 3) Ahora debes ubicar el punto homólogo de A que es A’, debes tomar la medida “eje L-A” y mídela sobre la línea, partiendo del eje L y siguiendo dirección contraria al vértice A y justo en el extremo de la distancia marca A’.

Ya tienes la posición de A’

Sigue los pasos desde el numero 1 hasta el 3 para encontrar B’,C’ etc.

Cuando los tengas todos solo debes unir los puntos A', B', C', y borrar las líneas que estén demás.

Y eso es todo!


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Primero dibuja el polígono, elige la herramienta Polígono y dibújalo.

Luego elige la herramienta Recta y dibuja una línea a un lado del polígono, recuerda que este será nuestro eje central.

Elige la herramienta Simetría Axial, seleccionada la herramienta debes  seleccionar el polígono  a reflejar , dando click en el centro del mismo y luego seleccionar el eje central, dando click encima de la línea.

Luego automáticamente aparecerá la imagen con el reflejo de simetría axial.

Y eso es todo gracias por leer!!

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Rotación

Compás de precisión, transportador, regla y lápiz (borrador si eres novato), es lo que vamos a utilizar.

Pretendemos rotar una imagen así.

Para eso, a un lado de la imagen,  fijaremos un punto “O”, este va a ser nuestro eje de rotación.

.

Crea una línea que empiece en “O” y termine en “A” y mide la distancia "O-A", haz esto con el punto O y el resto de vértices,  yo registrare las distancias en una tabla.

Vamos a rotar cada vértice uno por uno

El  ángulo de rotación lo decides tu o tu profe… toma el transportador  y ubica el ángulo donde será rotado el vértice “A”, en este caso será 60º en sentido anti horario.

Traza una línea con este nuevo ángulo, en esta línea mide la distancia “o-a” y justo ahí márcalo y nómbralo, será  a’  (a prima).

Repite el proceso para con todos los vértices.

Luego de haber rotado 60° cada vértice uno por uno, quedaron los puntos a’, b’, c’...

Estos puntos hay que unirlos, tras esto, magia, la figura fue rotada

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Los siguientes pasos pueden ser seguidos sin importar la versión de Geogebra que tengas, en algunos casos lo único que cambia es el nombre de las herramienta, la posición y la función son las mismas.

Genera entonces tu polígono a rotar.

Click en la herramienta “Polígono”.

Empieza a dibujar tu polígono, generando uno a uno sus lados, termina el polígono dando click sobre el primer punto que creaste.

Ahora crearemos nuestro punto “O”, osea nuestro eje de rotación,  click en herramienta “Punto”.

prosigue a ubicar el punto donde tu quieras, solo debes dar click sobre la pantalla.

En la herramienta “simetría axial”, dale click sobre la flechita que apunta hacia abajo para desplegar mas opciones y selecciona “Rotación”.

 Seleccionada esta herramienta, debes dar click en el punto de rotación y luego sobre la figura.

Guarda cuidado al seleccionar el polígono, fíjate que estés seleccionando  todo el polígono y no solo un lado.

aquí solo se esta seleccionando solo un lado, notese como resalta el lado derecho superior.

aquí se esta seleccionando todo el polígono, fíjate que resalten todo sus lados por igual

 Tras esto , aparecerá una ventana donde tendrás que definir el ángulo de rotación, además de el sentido de angulo (horario o antihorario). Digita el ang.  y dale click en  ok. Automáticamente aparecerá la imagen rotada

En este ejemplo fue rotada 30° en sentido horario.

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